Prove que A − (B U C) = (A−B)∩(A−C) e A−(B∩C)=(A−B)U (A−C) Números e Funções reais PROFMAT

Prove que A − (B U C) = (A−B)∩(A−C) e A−(B∩C)=(A−B)U (A−C) Números e Funções reais PROFMAT

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Exercícios do Livro Números Naturais e Funções para o PROFMAT
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(a) Para provar a igualdade, precisamos mostrar que todo elemento pertencente ao lado esquerdo da equação também pertence ao lado direito, e vice-versa.

Começando pelo lado esquerdo:

x ∈ A - (B U C)

Isso significa que x pertence a A, mas não pertence à união de B e C.

Se x não pertence à B U C, então x não pertence nem a B, nem a C. Logo, podemos escrever:

x ∈ A - B e x ∈ A - C

Portanto, x pertence à intersecção de (A - B) e (A - C). Assim, todo elemento do lado esquerdo da equação também pertence ao lado direito.

Agora, vamos mostrar que todo elemento do lado direito também pertence ao lado esquerdo:

x ∈ (A - B) ∩ (A - C)

Isso significa que x pertence à diferença entre A e B, e x pertence à diferença entre A e C.

Isso implica que x não pertence à união de B e C, já que não pertence nem a B, nem a C.

Assim, todo elemento do lado direito da equação também pertence ao lado esquerdo.

Portanto, concluímos que

A - (B U C) = (A - B) ∩ (A - C).

(b) Para provar a igualdade, novamente precisamos mostrar que todo elemento pertencente ao lado esquerdo da equação também pertence ao lado direito, e vice-versa.

Começando pelo lado esquerdo:

x ∈ A - (B ∩ C)

Isso significa que x pertence a A, mas não pertence à intersecção de B e C.

Se x não pertence à intersecção de B e C, então x não pertence nem a B, nem a C. Logo, podemos escrever:

x ∈ A - B ou x ∈ A - C

Portanto, x pertence à união de (A - B) e (A - C). Assim, todo elemento do lado esquerdo da equação também pertence ao lado direito.

Agora, vamos mostrar que todo elemento do lado direito também pertence ao lado esquerdo:

x ∈ (A - B) U (A - C)

Isso significa que x pertence à diferença entre A e B, ou x pertence à diferença entre A e C.

Isso implica que x não pertence à intersecção de B e C, já que não pertence nem a B, nem a C.

Assim, todo elemento do lado direito da equação também pertence ao lado esquerdo.

Portanto, concluímos que

A - (B ∩ C) = (A - B) U (A - C).