Dado o número natural a, seja Y ⊂ N um conjunto com as seguintes propriedades: a ∈ Y ; n ∈ Y e...

Dado o número natural a, seja Y ⊂ N um conjunto com as seguintes
propriedades:
(1) a ∈ Y ;
(2) n∈ Y ) n + 1∈ Y .
Prove que Y contém todos os números naturais maiores do que ou iguais a a. (Sugestão: considere o conjunto X = Ia U Y , onde Ia é o conjunto dos números naturais ≤ a, e prove, por indução, que X = N.)

Exercícios do Livro Números Naturais e Funções para o PROFMAT

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O Teorema da Indução é um método matemático para provar que uma propriedade é verdadeira para todos os números naturais. Ele é baseado no princípio da indução matemática e tem a seguinte forma:

Suponha que P(n) seja uma propriedade que envolve um número natural n. Se P(1) é verdadeira e, para todo n ≥ 1, P(n) implica P(n+1), então P(n) é verdadeira para todo n natural.

Em outras palavras, para provar que uma propriedade é verdadeira para todos os números naturais, podemos seguir os seguintes passos:

Provar que a propriedade é verdadeira para n=1.
Assumir que a propriedade é verdadeira para um número natural genérico k (hipótese de indução).
Usar a hipótese de indução para provar que a propriedade é verdadeira para n=k+1.
Se seguirmos esses passos, podemos concluir que a propriedade é verdadeira para todos os números naturais. A prova por indução é muito útil na matemática, pois nos permite provar resultados para um número infinito de casos usando um argumento simples e elegante.

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