Por que o Conjunto dos NÚMEROS NATUAIS é INFINITO? 3 Ideas para Demonstração

Como provar que o conjunto dos números naturais é infinito?
Método a Indução
Existem várias maneiras de provar que o conjunto dos números naturais é infinito, mas uma das mais comuns é usando o princípio da indução.

O princípio da indução é um método matemático para provar que uma propriedade é verdadeira para todos os números naturais. Ele é baseado no fato de que se uma propriedade é verdadeira para um número natural k e também é verdadeira para o número natural k + 1, então ela é verdadeira para todos os números naturais maiores ou iguais a k.

Para usar o princípio da indução para provar que o conjunto dos números naturais é infinito, primeiro precisamos definir a propriedade que queremos provar. Uma possível propriedade é a seguinte:

P(n): "Existem pelo menos n números naturais."

Agora podemos usar o princípio da indução para mostrar que essa propriedade é verdadeira para todos os valores de n. Primeiro, precisamos mostrar que P(1) é verdadeira:

P(1): "Existe pelo menos um número natural."

Isso é verdadeiro porque o número natural 1 existe.

Agora, precisamos mostrar que se P(k) é verdadeira, então P(k+1) também é verdadeira para todo k. Suponha que P(k) é verdadeira, ou seja, existem pelo menos k números naturais. Então, podemos adicionar um novo número natural, k+1, e obter k+1 números naturais. Portanto, P(k+1) é verdadeira.

Por fim, podemos concluir que a propriedade P(n) é verdadeira para todos os valores de n, ou seja, existe pelo menos um número natural, dois números naturais, três números naturais, e assim por diante, ou seja, o conjunto dos números naturais é infinito.
MÉTODO DO ABSURDO
A prova por absurdo é um método matemático em que supomos que a proposição que queremos provar é falsa e, em seguida, mostramos que essa suposição leva a uma contradição. Isso implica que a proposição original é verdadeira.

No caso do conjunto dos números naturais, podemos supor por absurdo que existe um número natural máximo, digamos n. Isso significaria que todos os números naturais são menores ou iguais a n. No entanto, podemos formar o número natural (n+1), que é claramente maior do que n. Isso contradiz a suposição inicial de que n é o maior número natural. Portanto, não pode haver um número natural máximo e, portanto, o conjunto dos números naturais é infinito.

Essa prova por absurdo é uma maneira alternativa de provar a mesma proposição que a prova por indução que descrevi anteriormente.
Método da correspondência biunívoca (DIFERENTE DO VÍDEO)
Podemos usar a correspondência biunívoca para provar que o conjunto dos números naturais é infinito. Para isso, é suficiente mostrar que existe uma bijeção entre o conjunto dos números naturais e um subconjunto próprio de si mesmo.

Uma maneira de fazer isso é considerar a função f: N → N definida por f(x) = x + 1, que associa a cada número natural x o seu sucessor x + 1. É fácil verificar que f é uma bijeção, pois para cada número natural x, existe um único número natural y = x + 1 tal que f(x) = y, e para cada número natural y, existe um único número natural x = y - 1 tal que f(x) = y.

Agora, suponha por absurdo que o conjunto dos números naturais é finito e seja n o seu maior elemento. Como f é uma bijeção, o conjunto {1, 2, ..., n} é o seu subconjunto próprio, já que f(n) = n+1 é um número natural que não está em {1, 2, ..., n}. Isso contradiz a definição de um conjunto finito, que é aquele que pode ser colocado em correspondência biunívoca com algum intervalo de números naturais. Portanto, o conjunto dos números naturais é infinito.

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Os porquês da matemática (Demonstrações)

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